By Klaus Menzel

F?r die konkreten L?sungen einer mathematischen Aufgabe ist immer ein bestimmter Algorithmus erforderlich. Vom Euklidischen Algorithmus (1000 v. Chr.) zur Ermittlung des gr??ten gemeinsamen Teilers zweier nat?rlicher Zahlen bis zur L?sung linearer Gleichungssysteme mit dem Gau?schen Algorithmus (19. Jh.) sind Algorithmen unverzichtbar. Dieser Band behandelt numerische Algorithmen, die in der traditionellen Schulmathematik eine wichtige Rolle spielen. Ziel ist es dabei, nicht nur die einzelnen Algorithmen kennenzulernen, sondern zugleich die algorithmische Methodik zu erfahren, die zur Elementarisierung mathematischer Probleme und zur L?sung in endlich vielen Schritten f?hrt. Dar?ber hinaus werden nichtnumerische Such-, Sortier- und Simulationsalgorithmen dargestellt, die sich in der Schule in spielerischer und kreativer Weise behandeln lassen.

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Der Grubenausbau

2 Etwas anders verhalt sich der Sand, der gar keinen inne en Zu sammenhang, additionally auch keine Spannung besitzt. Je grobkorniger und scharfkantiger er ist, um so naher drangen sich die einzelnen Korner aneinander, so dass dadurch eine paintings von Verband entsteht. Dies er setzt, allerdings nur in geringem Masse, den fehlenden inneren Zu sammenhang.

Schneid- und Schweißversuche mit Elektronenstrahlen

Die vielseitige Verwendung, die die Elektronenstrahlung seit ihrer Entdeckung im Jahre 1869 gefunden hat, ist weitgehend bekannt. Anwendungsbeispiele findet guy u. a. in der Elektronenröhre, der Braunschen Röhre, der Röntgenröhre und in der Elektronenoptik. Die Elektronenröhre dient zur Strom- und Spannungsverstärkung mit Hilfe des gesteuerten Ladungstransportes.

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Den Wert von k, brauchen wir gar nicht zu kennen. Wir besitzen ja die gleichwertige Abbruchbedingung qi = 0, die auch für den Wert n = 0 noch korrekt ist. 6 (1) g-adische Darstellung einer natürlichen Zahl n 1: Notiere die natürliche Zahl n und die gewünschte Basis g 2: Bestimme den Rest r aus der Division n : g 3: Gib den erhaltenen Wert raus 4: Bestimme den Quotienten q aus n = q . 6 (1) in der umgekehrten Reihenfolge 1l{j, al, ... , ak_l, ak an. Es soll jedoch für die gesuchte g-adische Darstellung die normale Zahlenschreibweise erreicht werden.

Wir haben also genau einen der beiden Ausgangswerte verkleinert. Falls der Rest r gleich Null ist, so gilt ggT(O, a) = a und damit ggT(a, b) = a. Ist der Rest r ungleich Null, so kann man die Division mit Rest fiir das Paar (r, a) fortsetzen. Für die Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen kgV(a, b) von a und b verwenden wir den Zusammenhang a· b = ggT(a, b) . 2 (2) Man bestimme für zwei natürliche Zahlen a und b den größten gemeinsamen Teiler ggT(a, b) und das kleinste gemeinsame Vielfache kgV(a, b).

Von hinten) gewinnen. Dividieren wir 1234 ganzzahlig durch die Basis 10, so erhalten wir aus dem Satz über die Division mit Rest die eindeutige Zerlegung 1234 = 123· 10 + 1 (letzte Ziffer). Wiederholen wir die Division, so ergibt sich nacheinander 123 12 . 10 + 1 (vorletzte Ziffer) 12 1 . 10 + 2. (zweite Ziffer) 1 0 ·10 + 1 (erste Ziffer). B. g = 8). Dabei nützen wir aus, daß die Division mit Rest für j e den Divisor g ein eindeutiges Ergebnis hat. Über die Länge der g-adischen Darstellung brauchen wir nichts zu wissen, da wir stets mit der Bestimmung der letzten Ziffer (Einer) beginnen und abbrechen, sobald der ganzzahlige Quotient Null wird.

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Algorithmen: Vom Problem zum Programm by Klaus Menzel
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